# 二进制与十进制

# 1. 十进制基本概念

145 ，被理解为 “一百四十五” ，但是 145 并不是一个 “数” ，而只是一个数的代码，是这个数的 “书写方式” 。

三、叁、three、3、|||、III、***、丙、等等很多书写方式，其实都可以表达同样的数学上的数字概念。

阿拉伯数字用 10 ，而罗马数字用 X ，来表达同一个数学概念。

我们所说的 “一百四十五” ，其实只是一种表达方式：阿拉伯式的表达，也即使十进制。

归纳起来：

十进制的普及不是偶然的，但是我们可以使用不同的进制。

注意

进制不同，只是书写效果的不同。不同的书写方式，可以表达同一个 “数” 的数学概念。

按照十进制中总结的数学规则，可以这样描述 八进制：

练习

描述六进、七进制和九进制。

十进制：

位数	第4位	第3位	第2位	第1位
位权	$10^3$	$10^2$	$10^1$	$10^0$
值	1000	100	10	1

七进制：

位	第4位	第3位	第2位	第1位
位权	$7^3$	$7^2$	$7^1$	$7^0$
等价十进制	343	49	7	1

同样的书写方式 200：

为了表达 50 这个数值：

所以：

二进制是这一概念推广的最终产物。

位	第8位	第7位	第6位	第5位	第4位	第3位	第2位	第位
位权	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
等价十进制	128	64	32	16	8	4	2	1

计算机根本不认识字母、数字、指令或程序，在它的内部只是一些电路，某个电路的节点上要么有很多电，要么几乎没有电。

在硬件上，硬件工程师不太容易表示：少点电 - 一些点 - 较多电- 许多电 - 大量电 这样的多状态。反而很容易也更稳妥地实现：有电 - 没电 的两状态。所以二进制的本质就是：用 1 和 0 可以代表每一段电路的真实状态。

因为早期的计算机一次处理 8 位，所以很自然的将 8 位大小的长度称为字节。

用 8 位二进制数可以表示 256 个不同的值。如果 8 位都为 1，则对应的十进制值是 255；如果 8 为都是 0，则对应的十进制值是 0，从 0~255 一共有 256 种可能的状态（数据）。

$2^{10}$ = 1024

因为二进制数难于阅读，于是人们想出了一种更为简单的方式来表达相同的值。从二进制转换成十进制设计到大量的数的操作，但是从二进制转换成十六进制就很简单。

十六进制中有十六个数字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f：

也就是说，有些数学概念上的数值，十进制中需要用两位数表示，但是十六进制用一位数就能表示

位	第4位	第3位	第2位	第1位
位权	$16^3$	$16^2$	$16^1$	$16^0$
等价十进制	4096	256	16	1

诀窍：一个字节中的 8 位 2 进制数，分成两组 4 位，正好每一组 4 位二进制数等价于 1 位十六进制数。